تأثیر پارامتر شتابدهنده بر دقت محاسبات در روش SSOR برای حل معادلات آب زیر زمینی
| دسته | آب شناسی |
|---|---|
| گروه | سازمان زمین شناسی و اکتشافات معدنی کشور |
| مکان برگزاری | بیست و پنجمین گردهمائی علوم زمین |
| نویسنده | کاظم زارعی مظفری |
| تاريخ برگزاری | ۰۱ اسفند ۱۳۸۵ |
مقدمه :
بطور کلی فرم دیفرانسیلی معادله حاکم بر جریان آب زیرزمینی در حالت ماندگار[۱]، هموژن، ایزوتروپ و دو بعدی عبارت است از :
که به رابطه لاپلاس معروف است. به کمک رابطه (۱) تغییرات هد در جهات X و Y در هر نقطه سفره آبدار تعیین می شود. ذکر این نکته ضروری است که در حل مدلهای ریاضی با استفاده از روش تفاضل محدود، محیط پیوسته مسأله در جهات مختلف، به تعدادی بلوک و گره تقسیم می شود[۲]. با فرض یکسان بودن فاصله گره‌ها در جهات X و Y مى‌توان فرم تفاضلى رابطه (۱) را بصورت زیر نوشت:
شکل ۱: فرم ستاره ای پنج نقطه ای
(۲)
در روش ژاکوب برای محاسبه مقدار کمیت وابسته در هر نقطه، از مقادیر حدس اولیه نقاط مجاور و یا مقادیر محاسبه شده در مرحله پیشین استفاده می شود.
بدین ترتیب رابطه ژاکوب بصورت زیر می باشد:
(۳)
که m مرحله تکرار را نشان داده و به مقادیر محاسبه شده هد (h) پیشین (یا مقادیر حدس اولیه برای نخستین مرحله محاسبه) بستگی دارد و m+۱ معرف مرحله جدید تکرار است. در روش گوس- سیدل[۳] بمحض مشخص شدن مقدار کمیتها، از آنها برای محاسبه مقادیر نقاط مجاور استفاده می شود. این امر باعث افزایش چشمگیر همگرایی این روش در مقایسه با روش ژاکوبی می شود. در این حالت می توان دو مقدار از مقادیر جدید محاسبه شده را در فرمول تکرار بکار گرفت. بدین ترتیب رابطه تکرار گوس- سیدل بصورت زیر خواهد بود:
(۴)
تفاوت هد بین دو تکرار متوالی در روش تکرار گوس-سیدل، مقدار باقیمانده[۴] (C) نامیده می شود. که بصورت زیر تعریف می شود:
(۵)
در روش SOR برای افزایش سرعت همگرایی، مقدار باقیمانده در یک پارامتر تحت عنوان پارامتر شتاب دهنده ( ) ضرب می شود. مقدار جدید در این روش، به کمک رابطه زیر بدست می آید:
(۶)
که در آن است. این مسأله به این مفهوم است که معادله SOR برای تطبیق در تکرار (m+۱) از جایگزین کردن طرف راست معادله (۴) در معادله (۵) و جانشین کردن نتیجه حاصل در معادله (۶)، استفاده کرده و معادله زیر نتیجه می شود:
(۷)
در صورتیکه برای محاسبه در رابطه (۷) باشد، روش SOR را شتاب دهنده[۵] و اگر باشد، روش SOR را کاهش دهنده[۶] گویند. چنانچه باشد، فرمول تکرار SOR (معادله ۷) به روش گوس-سیدل، (معادله ۴) تبدیل می شود (Anderson and Wang, ۱۹۸۲). در روش شتاب دهنده، معمولاً مقدار بین ۱ تا ۲ تغییر می کند (Anderson and Wang, ۱۹۸۲) و (McDonald and Harbaugh, ۱۹۸۸). در این مقاله هدف، بررسی تأثیر پارامتر شتاب دهنده بر دقت محاسبات عددی، رابطه آن با ابعاد سلولهای شبکه مدل و تعیین بهترین مقدار برای یک نمونه از مسائل آب زیرزمینی می باشد.
◊◊◊◊◊◊◊
بحث :
عملیات تکرار برای حل معادله (۷) تا جایی ادامه خواهد یافت که اختلاف میان دو مقدار محاسبه شده در دو تکرار متوالی، کوچکتر از یک مقدار از پیش تعیین شده (که معیار همگرایی نامیده می شود) گردد.لازم به ذکر است که بعضی از الگوریتم های موجود، علاوه بر معیار همگرایی هد، از معیار همگرایی بیلان نیز استفاده می نمایند. اما الگوریتم SSOR فقط از معیار همگرایی هد برای قبول جوابها استفاده می کند. لذا انتخاب نادرست پارامتر شتاب دهنده می تواند باعث شود که جوابها به سمت مقدار صحیح، همگرا نشود. برای مشخص نمودن مقدار بهینه پارامتر شتاب دهنده و تأثیر آن بر دقت محاسبات عددی، یک آبخوان آزاد به طول و عرض ۸۱۷۵ متر و ضخامت ۱۰۰ متر، هدایت هیدرولیکی ۳۰ متر بر روز، شامل یک چاه پمپاژ در وسط که سیستم را با دبی ۲۰۰۰ متر مکعب بر روز پمپاژ می کند انتخاب شد. مرزهای اطراف بصورت مرز با هد ثابت در نظر گرفته شده اند. در هر مرحله، این سیستم با سلولهای ۲۵ ، ۵۰ ، ۱۰۰ و ۲۰۰ متری شبکه بندی شده و برنامه با پارامترهای شتاب دهنده مختلف اجرا گردید. ضمناً معیار همگرایی حل به صورت حداکثر اختلاف هد محاسباتی در دو تکرار متوالی به میزان یک میلی متر تعریف شده و حداکثر ۱۰۰۰ تکرار برای این مسأله برای رسیدن در نظر گرفته شده است. پس از اجرای برنامه نتایج آن با نتایج بدست آمده از حل تحلیلی مقایسه شد. در این مورد از رابطه تحلیلی زیر برای مقایسه استفاده شده است:
(۸)
که به رابطه تیم[۷] معروف است و برای محاسبه جریان شعاعی به سمت چاه پمپاژ در شرایط ماندگار به کار می رود. سرانجام انحراف معیار[۸] اختلاف میان حل عددی و تحلیلی به عنوان شاخص برای بیان خطا استفاده گردید. علت استفاده از انحراف معیار برای بیان خطا در این تحقیق این است که در هر مرحله، گسسته سازی محیط مسأله با یک نوع شبکه (ریز یا درشت) انجام شده است. طبق هر شبکه بندی، تعداد نقاط محاسبه هد متفاوت خواهد بود. از اینرو با استفاده از انحراف معیار سعی شده که تأثیر تعداد نقاط محاسبه خطا و علامت (منفی) اختلافات در مقایسات حذف شود. برای محاسبه انحراف معیار از رابطه زیر استفاده شده است:
(۹)
که در آن تعداد نقاط محاسبه هد، هد حاصل از حل تحلیلی و هد حاصل از حل عددی (شبیه سازی) است. شکل (۱) رابطه مقدار پارامتر شتاب دهنده را با انحراف معیار در سلولهای ۲۵، ۵۰، ۱۰۰ و ۲۰۰ متری نشان می دهد.
با افزایش پارامتر شتاب دهنده از مقدار انحراف معیار کاسته می شود. برای شبکه سلولهای ۲۵ متری، کمترین انحراف معیارها را در پارامتر شتاب دهنده ۹۷/۱ تا ۹۹/۱ می توان یافت. همچنین از شبکه سلولهای ۲۵ متری به سمت سلولهای ۲۰۰ متری دامنه اعتبار پارامتر شتاب دهنده برای حصول کمترین خطا افزایش یافته است. بطوریکه در شبکه سلولهای ۲۰۰ متری مینیمم خطا از پارامتر های شتاب دهنده ۸۳/۱ تا ۹۹/۱ بدست آمد است. برای انتخاب دقیق تر پارامتر شتاب دهنده مناسب، از تعداد تکرارهایی که برنامه طی می کند تا به جواب برسد و نتایج بیلان نیز می توان استفاده نمود. در شکل (۲) رابطه پارامتر شتاب دهنده با تعداد تکرار و بیلان در سلولهای ۲۵ متری نشان داده شده است.
علی رغم افزایش تعداد تکرار، بهترین بیلان در پارامتر شتاب دهنده ۹۸/۱ ایجاد می شود. انتخاب پارامتر شتاب دهنده کمتر از مقدار بهینه، باعث شده تا در های ۱/۰ تا ۹/۱، بیلان منفی ایجاد شود. دلیل این مطلب آن است که در های مذکور، تغییرات هد در هر تکرار اندک بوده و قبل از رسیدن به جواب صحیح، همگرایی حاصل شده و برنامه در تعداد تکرار پایین متوقف شده است. با توجه به اینکه هد اولیه سیستم برابر با هد در مرز انتخاب شده، برنامه پس از چند تکرار به سرعت به همگرایی تعریف شده رسیده و متوقف می شود. عکس این حالت در های بزرگتر از مقدار بهینه اتفاق می افتد. در چنین شرایطی تغییرات هد در هر تکرار بیش از حد معمول بوده و برنامه برای رسیدن به معیار همگرایی تعریف شده بایستی تعداد تکرارهای بیشتری را انجام دهد (۲= ). منحنیهای مشابه شکل (۲) برای سلولهای ۵۰، ۱۰۰ و ۲۰۰ متری ترسیم شده و نتایج آن در شکلهای (۳) الی (۵) نشان داده شده است.
شکل (۳) نشان می دهد که در سلولهای ۵۰ متری پارامتر شتاب دهنده برای مقادیر میان۹۶/۱ تا ۹۹/۱ بیلان مناسبی را ارائه کرده است. نتایج بیلان و تعداد تکرار برای سلولهای با ابعاد ۱۰۰ متر در شکل (۴) نمایش داده شده است. مطابق این شکل پارامتر شتاب دهنده مناسب میان ۹۲/۱ تا ۹۹/۱ قرار می گیرد. در شکل (۵) پارامترهای شتاب دهنده مختلف برای سلولهای ۲۰۰ متری آزمایش شده است.
در سلول ۲۰۰ متری حداقل انحراف معیار را در پارامترهای شتاب دهنده ۹/۱ تا ۹۹/۱ وجود دارد. شکلهای (۱)، (۴) و (۵) نشان می دهند که در حل مسأله با شبکه سلولهای ۱۰۰ و ۲۰۰ متری، تغییرات پارامتر شتاب دهنده از ۹/۱ تا ۹۹/۱ تأثیر چندانی بر جوابهای (شامل هد و بیلان) محاسبه شده نداشته است. برای انتخاب یک پارامتر شتاب دهنده مناسب در شبکه بندیهای مختلف، منحنی رابطه انحراف معیار با ابعاد سلول در هر پارامتر شتاب دهنده ترسیم گردید (شکل ۶).
در شکل (۶) منحنی های مربوط به پارامترهای شتاب دهنده ۹۷/۱ و ۹۸/۱ نسبت به سایر منحنی ها، کمترین خطا را نشان می دهند. اما با توجه به نتایج بیلان که قبلاً بحث شد، ۹۸/۱ عدد مناسبی برای پارامتر شتاب دهنده در مسأله مورد تحقیق است. چون با این عدد در همه ابعاد سلولها، از یک طرف بطور نسبی، مقدار خطا در حد مینیمم است و از طرف دیگر بیلان مناسبی بدست می آید.
◊◊◊◊◊◊◊
نتیجه گیرى :
در روش تکرار SOR با وارد شدن به رابطه (۷)، مقدار پارامتر شتاب دهنده در محاسبه هد هر سلول، تأثیر خواهد داشت. با افزایش مقدار این پارامتر، هد محاسبه شده در هر تکرار نسبت به تکرار قبل، تغییرات زیادی دارد (McDonald and Harbaugh, ۱۹۸۸). در صورتیکه مقدار پارامتر شتاب دهنده کمتر از حد مناسب آن انتخاب شود، تغییرات هد در هر تکرار کم بوده و برنامه پس از انجام چند تکرار، به جوابهای نادرست همگرا شده و قبل از اینکه مقدار صحیح هد محاسبه شود، متوقف می گردد. بنابراین انتخاب نادرست مقدار پارامتر شتاب دهنده می تواند از یک سو دقت محاسبات عددی را کاهش داده و یا منجر به افزایش مدت زمان اجرای برنامه گردد. از مجموع بحث چنین نتیجه می شود که مقدار پارامتر شتاب دهنده بر دقت محاسبات عددی تأثیر دارد و این تأثیر با کاهش ابعاد سلول، افزایش می یابد. همچنین دامنه اعتبار پارامتر شتاب دهنده در مسائل با ابعاد شبکه های سلول بزرگتر، بیشتر است. در مسائل عملی که فاقد حل تحلیلی هستند لازم است نتایج بیلان در روش SSOR کنترل شود و در صورت عدم همخوانی با نتایج صحیح بیلان، مقدار پارامتر شتاب دهنده اصلاح شود. همچنین ضمن استفاده از الگوریتم SSOR مناسب نیست از سلولهای خیلی ریز استفاده شود. بهتر است ابعاد سلول، حداقل ۱۰۰ متر در نظر گرفته شود.
◊◊◊◊◊◊◊
Refrences:
۱- Wang, H. F. and Anderson, M. P., ۱۹۸۲. Introduction to Groundwater Modeling: Finite difference and finite element methods, pages ۲۳۷pp. W. H. Freeman.
۲- McDonald, M. G. and Harbaugh, A. W., ۱۹۸۸. A modular three-dimensional ground- water flow model: U. S. Geological Survey Techniques of Water-Resources Investigations, bk. ۶, ch. Al, ۵۴۸ p.
۳- Chiang, W. H. and Kinzelbach, W., ۲۰۰۱. ۳D-Groundwater Modeling with PMWIN; A Simulation System for Modeling Groundwater Flow and Pollution, Springer.
[۱] Steady state
[۲] Discretization
[۳] Gauss-Seidel
[۴] Residual
[۵] Over relaxed
[۶] Under relaxed
[۷] Thiem equation
[۸] Standard deviation
کاظم زارعی مظفری، دانشجوی کارشناسی ارشد آب شناسی، دانشگاه شهید بهشتی، دانشکده علوم زمین
رادین اسپندار، عضو هیئت عملی دانشگاه شهید بهشتی، دانشکده علوم زمین
◊◊◊◊◊◊◊
چکیده:
برای حل همزمان معادلات آب زیرزمینی معمولاً از روش تکراری استفاده می شود. در این روشها در ابتدا مقادیر اولیه ای حدس زده شده سپس این مقادیر به کمک معادلات مربوطه تصحیح می گردند. عملیات تا رسیدن به جوابهای با دقت قابل قبول برای کاربر ادامه می یابد. تکنیکهای متنوعی برای حل معادلات به کمک روش تکراری پیشنهاد شده است. یکی از این تکنیکها، روش SOR می باشد. در روش SOR برای افزایش سرعت همگرایی، پارامتری تحت عنوان پارامتر شتاب دهنده) [1]
Abstract:
Iterative methods are used for simultaneously solving groundwater equations. In these methods, first, is guessed initial value and then is corrected by means of related equations. These procedures continue until precious result is gained for user. There are several iterative methods for solving equations. One of them is SOR method. In this method to increase convergence, is added a Relaxation Parameter ( ) to Gauss-Seidel method. Relaxation parameter's value changes between 1 up 2. In this research have been taken to account the results of a problem with different , to determine the best value of relaxation parameter and its effect on the accuracy of numerical solution. At the result, has been suggested to use the best relaxation parameter value by evaluating the differences between calculated heads of numerical and analytical solution, water budget and iteration number.