تلفیق داده های انومالی ثقل به کمک تبدیل ویولت

دسته ژئوفیزیک
گروه سازمان زمین شناسی و اکتشافات معدنی کشور
مکان برگزاری بیست و ششمین گردهمایی علوم زمین
تاريخ برگزاری ۱۳ اسفند ۱۳۸۶

چکیده :
 
تبدیل ویولت، بعنوان یک ابزار آنالیز چند طیفی، ضمن آنکه می تواند فرکانس های مختلف موجود در یک سیگنال وابسته به زمان یا مکان را تفکیک نماید، قادر به توجه به ساختار داده ها نیز بوده و از این رو این تبدیل را می توان در مواجه با اطلاعاتی در رزولوشن های مختلف به کار برد. در مقاله حاضر، از این ویژگی در تلفیق دو دسته اطلاعات انومالی ثقل نمونه از یک منطقه از زمین با قدرت تفکیک های مختلف بهره گرفته و به برآورد انامولی های ثقل متراکمی بر مبنای تبدیل ویولت گسسته دوبعدی دست یافته ایم.
نتایج عددی حاکی از قابلیت تئوری مزبور در برآورد اطلاعات انومالی ثقل با تراکم بالا خواهند بود.

امیر رضا مرادی ، کارشناس ارشد ژئودزی ، عضو هیئت علمی دانشکده فنی و مهندسی اراک- دانشگاه علم و صنعت ایران ، پست الکترونیک: amirama@yahoo.com
هوشنگ عیوضی ، کارشناس ارشد عضو هیئت علمی دانشکده فنی و مهندسی اراک- دانشگاه علم و صنعت ایران
مقدمه :
 
همواره بین مسائل مختلفی که در علوم زمین مطرح می گردد و تئوری تقریبات و تکنیک های مختلفی که در آن بکار می رود، ارتباط تنگاتنگی وجود داشته و با ظهور تئوری های جدید در عرصه تقریبات، متخصصین علوم زمین از نخستین کسانی بوده اند که به دنبال بهره گیری از این تئوری ها در حل مسائل مرتبط بوده اند؛ از آن جمله تئوری ویولت نیز چندی است که در این عرصه و بعنوان روشی که مزیت توجه به رزولوشن های مختلف داده ها را نیز به همراه دارد، مورد توجه قرار گرفته است.
کاربرد های زیر برخی از موارد استفاده تئوری ویولت در ژئوماتیک بوده اند:
-          حل معادله دیفرانسیل با مقادیر مرزی بر روی یک رویه هموار بسته به کمک تئوری ویولت
-          حل عددی معادلات انتگرال با تبدیل ویولت
-          شناسایی جهش فاز در GPS
-          آنالیز حرکات قطبی
-          برآورد پارامتر های میدان ثقل با استفاده از تبدیل ویولت]1[ و ] 2[
 
اصولا در تقریب پارامتر های میدان ثقل دو روش متداول وجود داشته است:
-          روشی که مبنای آن حل معادله دیفرانسیل با مقدار مرزی و در نهایت استفاده ازهارمونیک های کروی و یا انتگرال هایی نظیر انتگرال استوکس می باشد.
-          روش کولوکیشن که در آن با تلفیق داده های مختلف به تخمین پارامترهای ثقلی پرداخته می شود.]3[
 در هیچیک از دو روش فوق به ساختار و تراکم اطلاعات توجهی نمی شود و در تلفیق داده ها استفاده ای از کمیت هایی با قدرت تفکیک متفاوت نمی گردد؛ بعلاوه مسئله استخراج فرکانس های مختلف موجود در یک سیگنال و متعاقب آن دستیابی به جزئیات موجود در آن  موضوعی است که در روش های مختلف آنالیز طیفی مانند آنالیز فوریه و ویولت مورد توجه قرار می گیرد با این تفاوت که در آنالیز ویولت ماهیت تحلیل به گونه ایست که ضمن توجه به ساختار اطلاعات، جزئیات موجود در سیگنال متناظر به وضوح از یکدیگر تفکیک می گردند.]2[
انومالی ثقل شبکه بندی شده در یک محدوده معین از زمین یکی از انواع داده هایی است که در شاخه های بسیاری از علوم زمین نظیر ژئودزی و زمین شناسی مورد استفاده قرار می گیرد؛ طبیعی است که تراکم اطلاعات نقش مهمی در دقت پارامتر های قابل محاسبه بعدی خواهد داشت. در مقاله حاضر از تبدیل گسسته دو بعدی ویولت بهره جسته و با تلفیق دو دسته از اطلاعات انومالی ثقل با دو تراکم متفاوت، داده های متراکم تر اولیه را بهبود بخشیده ایم.
در ابتدای بحث، مقدماتی از تئوری ویولت مورد اشاره اجمالی قرار گرفته و در ادامه روش مورد استفاده و نتایج عددی تحلیل شده اند.
 
بحث :
 
مقدمه ای بر تبدیل ویولت
اگر بتوان تابعی مانند f(t) را به صورت ترکیب خطی نوشت که در ان   ها ضرایبی حقیقی موسوم به ضرایب بسط و  ها نیز توابعی حقیقی بنام توابع بسط هستند، آنگاه تحلیل، توصیف و پردازش سیگنال به طریقی ملموس تر و کارآمدتر قابل انجام بوده و این موضوع اساس آنالیز طیفی را تشکیل می دهد.حال اگر مجموعه ضرایب بسط برای یک تابع، منحصر به فرد باشند توابع بسط را پایه ای برای فضای شامل f می نامیم و در صورتیکه این توابع پایه اورتونرمال باشند می توان نوشت:
 
در یک سری فوریه، توابع پایه متعامد سیستم به صورت تابع نمایی و در سری تیلر این توابع غیر متعامد و به صورت مجموعه چند جمله ای ها بروز می کنند.
پس از این مقدمه به سری ویولت می رسیم که در آن به کمک مجموعه ای از ویولت ها بعنوان توابع پایه، انتقال از فضای آرگومان به فضای فرکانس به صورت زیر انجام می گیرد:
در این فرمول  ها همان ویولت ها هستند و با نگرشی مشابه تبدیل فوریه، ضرایب بسط در واقع تصویر سیگنال در فضای فرکانس می باشند که این تصویر بکمک عملگر انتگرال حاصل می گردد.در اینجا ضرایب بسط را تبدیل گسسته ویولت تابع f (DWT) و برعکس، سری اخیر را تبدیل گسسته معکوس ویولت (IDWT) می گویند.
بدین ترتیب اگر تبدیل گسسته فوریه را در حکم نگاشتی بدانیم که یک تابع یک بعدی را به یک دسته ضرایب یک بعدی تبدیل می نماید، تبدیل ویولت یک بعدی نگاشتی است که تابع یک بعدی مفروض را به مجموعه ای از ضرایب دو بعدی تبدیل می کند؛ از این روی در آنالیز ویولت امکان نگرش همزمان به هر دو مسئله مکان و فرکانس( مقیاس) وجود داشته و از این لحاظ به نوعی می توان آن را، به لحاظ مفهوم، شبیه نحوه قرار گیری نت های موسیقی در یک آهنگ- نوشته دانست که قرارگیری نت ها هم بیانگر زمان اجرا و هم نمایانگر فرکانس هستند.]4[
مجموعه توابعی که می توانند بعنوان ویولت مورد استفاده قرار گیرند منحصر بفرد نبوده و پس از تامین شرایط وجود و( در صورت لزوم) تعامد، تعدادی درجات آزادی برای طراحی توابع پایه سیستم باقی خواهد ماند ولی به هر حال در هر سیستم ویولت، مجموعه توابع پایه سیستم در نتیجه اعمال مقیاس( کوچک یا بزرگ کردن) و نیز جابجایی یک تابع مولد اولیه بنام ویولت مادر( ) بدست می آیند
توابع و ضرایب مقیاس و ویولت
همانطور که می دانیم در بسط یک تابع به کمک سری تیلر، اولین جمله از بسط، قسمت عمده تابع را در برگرفته و ترم های بعدی جزئیات آنرا بیان می کنند. به طریق مشابه در آنالیز ویولت نیز می توان با استفاده از دو دسته تابع موسوم به توابع مقیاس و ویولت به چنین بیانی دست یافت:
ابتدا با تعریف تابع مولدی بنام تابع مقیاس اولیه() و با جابجا کردن آن در طول محور زمان ( یا مکان) به دسته توابعی می رسیم که بعنوان توابع پایه زیر فضایی از  را می سازند که این فضا را  می نامیم:
حال با کوچک و بزرگ کردن تابع مقیاس از طریق اعمال فاکتور مقیاس j خواهیم داشت:
 
با تغییر در مقیاس، مجموعه فضاهای V با ارتباطی به صورت زیر بدست می آیند:
              
 
می توان نشان داد که مکمل متعامد فضای در  فضایی خواهد بود شامل ویولت ها () و لذا:
                    
 
با توجه به مطالب فوق در بسط هر تابع دلخواه از فضای  مانند g می توان شاهد دو بخش مجزا به تفکیک کلیات و جزئیات به صورت زیر بود:
                
 
که در آن ضرایب بسط همان DWT برای تابع g هستند.
با توجه به ارتباط فضا های V با یکدیگر می توان هر تابع در فضای V0را برحسب توابع پایه فضای V1نوشت؛ بر این مبنا خواهیم داشت:
به طریق مشابه در مورد ارتباط توابع ویولت با مقیاس چنین خواهیم داشت:
در عبارات فوق ضرایب بسط یعنی h و g ها به ترتیب ضرایب مقیاس و ویولت نامیده می شوند و ارتباط آن ها با  ضرایب c و d که در تفکیک هر سیگنال به دو بخش جزئیات و کلیات دیدیم به صورت زیر است:
                  
و
             
در صورتیکه نمونه های عددی موجود از یک تابع را متناظر با مجموعه Cj+1ها در نظر بگیریم آنگاه دو رابطه فوق مبنای استفاده از تبدیل ویولت گسسته در نقش یک فیلتر بوده و از این پس فرآیند متناظر با دو عبارت فوق را که به محاسبه دو بخش مشتمل بر کلیات و جزئیات سیگنال می انجامد، بعنوان تبدیل گسسته ویولت سیگنالی با نمونه های  لحاظ می نمائیم و برعکس در باز سازی سیگنال اولیه نیز می توان بازهم از ضرایب مقیاس و ویولت در تناظر با تبدیل معکوس ویولت به شکل زیر عمل نمود:
تبدیل ویولت گسسته دوبعدی نیز فرآیندی مشابه موارد مزبور را طی خواهد کرد و برای محاسبه تبدیل ویولت از روابط زیر بهره می جوئیم]5[:
تلفیق داده های انومالی با دو قدرت تفکیک مختلف و یک نمونه عددی
پس از ذکر مقدماتی از تبدیل ویولت اینک به ارائه روشی می پردازیم که در آن، بر مبنای تبدیل ویولت می توان دو دسته اطلاعات انومالی ثقل در دو رزولوشن مختلف را به منظور بهینه سازی داده های با تراکم بیشتر به کار برد. برای تبیین واضح تر موضوع، روش مورد نظر، برای تلفیق شبکه ای از انومالی های ثقل که در طول و عرض جغرافیایی دارای فاصله 5 دقیقه از یکدیگر می باشند(بعنوان داده های متراکم) با داده هایی از همان نوع و همان منطقه به فاصله 10 دقیقه بررسی شده است. لازم به ذکر است که داده های مزبور از یک بلوک به وسعت 1 درجه در کشور محدود به عرض جغرافیایی 37 و 38 درجه و طول جغرافیایی 46 و 47 درجه از مدل ژئوپتانسیل زمین(EGM96) استخراج شده اند.
در ابتدا انومالی های ثقل متراکم را که تابعی از مکان( طول و عرض جغرافیایی) و در واقع سیگنالی در فضای آرگومان می باشند و با توجه به تراکم نقاط، یک ماتریس 12×12 می باشد به کمک تبدیل دو بعدی گسسته ویولت به فضای فرکانس منتقل کرده و در نتیجه این انتقال، مطابق آنچه در بخش قبل دیدیم، چهار ماتریس که یکی از آن ها متناظر با کلیات و سه ماتریس دیگر جزئیات سیگنال در فضای فرکانس هستند بدست می آیند. اینک با استفاده از تبدیل معکوس ویولت و بدون در نظر گرفتن جزئیات، تصویر کلیات را در فضای مکان محاسبه می نمائیم. ماتریس حاصل نیز دارای ابعاد 12×12 بوده و برای آنکه بتوان آنرا با ماتریس متناظر با انومالی های ثقل 5 دقیقه ای که یک ماتریس 6×6 می باشد تلفیق نمود می بایست ماتریس محاسبه شده از تبدیل معکوس ویولت را با نمونه گیری رو به پائین به یک ماتریس 6×6 تبدیل نمائیم؛ برای این کار از میانگین گیری بین هر چهار عنصر مجاور از ماتریس 12×12 استفاده شده است. پس از نمونه گیری رو به پائین، پس از میانگین گیری نظیر به نظیر اعضای ماتریس بدست آمده مذکور با ماتریس مشتمل بر داده های با تراکم 6 دقیقه واقعی یک ماتریس جدید بعنوان کلیات برآورد شده محاسبه می گردد که با تبدیل دو بعدی گسسته ویولت می توان آن را به فضای فرکانس برد تا در نهایت برآورد انومالی های ثقل متراکم به کمک تبدیل گسسته معکوس ویولت و لحاظ کردن جزئیاتی که در اولین انتقال به فضای فرکانس عاید گردیدند محاسبه گردد.
لازم به توضیح است که یکی از ویژگی های منحصر بفرد تبدیل ویولت تنوع توابع پایه ایست که می توانند بعنوان توابع مقیاس و ویولت مورد استفاده قرار گیرند و در واقع می توان برحسب نوع تحلیل مورد نظر این توابع پایه را طراحی نمود. در این مقاله از ساده ترین توابع پایه در سیستمی موسوم به "هار" استفاده شده است و طبیعی است که در تحلیل های دقیق تر بعدی به مطالعه سایر سیستم های ویولت نیز پرداخت.
در اشکال زیر به ترتیب انومالی های ثقل 5 دقیقه ای، 10 دقیقه ای اولیه و اطلاعات انومالی ثقل 5 دقیقه ای برآورد شده به کمک تبدیل ویولت به نمایش گزارده شده اند:
نتیجه گیری :
 
در انتها نتایج بررسی حاضر را که مبتنی بر تبدیل ویولت بوده در موارد زیر خلاصه نموده ایم:
-     تبدیل ویولت ابزاری است کارآمد در تلفیق، برآورد و بازسازی اطلاعات مختلفی که در شاخه های مختلف علوم مرتبط با زمین و در سامانه های اطلاعات جغرافیایی مورد استفاده قرار می گیرند؛ از آن جمله در تلفیق داده های انومالی ثقل که نمونه ای از آن در تحقیق کنونی مورد توجه قرار گرفت
-     مسائلی چون توجه به ساختار اطلاعات، جدا سازی دقیق و گام به گام جزئیات و کلیات آن ها، امکان باز سازی دقیق اطلاعات اولیه، تفکیک فرکانس های مختلف موجود در سیگنال ها ضمن نمایاندن مکان یا زمان متناظر، امکان طراحی سیستم تبدیل بر مبنای شناخت از سیگنال و هدف آنالیز و مواردی دیگر که در حوصله این مقاله نمی گنجند همگی از مزایا و ویژگی های گاه منحصر بفرد تبدیل ویولت هستند.]5[
در این مقاله از توابع پایه " هار" برای انجام تبدیل ویولت استفاده شده است حال آنکه از نظر تئوری بی نهایت سیستم ویولت را می توان در تحلیل مورد نظر مورد استفاده قرار داد. با در اختیار داشتن اطلاعاتی واقعی و اندازه گیری شده از یک محدوده مفروض از زمین می توان در تحقیقات آتی به تحلیل تنیجه تلفیق داده ها به کمک سایر سیستم های ویولت پرداخت.

کلید واژه ها: سایر موارد